Bude rok 2026 šťastný?

Túto otázku si obvykle kladieme začiatkom roka. Pohľadov môže byť mnoho, ale matematici si vždy vedia nájsť hru, v ktorej dostanete odpoveď. V rámci rekreačnej matematiky existuje triedenie na čísla šťastné a nešťastné. Ako to celé funguje? Ako zistím, či je číslo šťastné alebo nešťastné?

Koncept je jednoduchý. Skúmané číslo rozložíme na jednotlivé cifry. Tie umocníme na druhú. Mocniny sčítame. Výsledok sčítania rozložíme na cifry, umocníme na druhú a tak stále dookola. Ak sa postupnými iteráciami dopracujeme k číslu 1, tak vyhlásime pôvodné číslo za šťastné. Hovoríme, že číslo našlo svoj pokoj a ustálilo sa (12 = 1).

Poďme si to vyskúšať s číslom 2026. Najskôr ho rozložíme na cifry, cifry umocníme a spravíme súčet.

2026 → 22 + 02 + 22 + 62 = 44

V ďalšom kroku si posvietime na číslo 44.

44 → 4² + 4² = 32

A tak dokola:

32 → 3² + 2² = 13

13 → 1² + 3² = 10

10 → 1² + 0² = 1

Prišli sme k číslu 1. Beh sa upokojil. Číslo 2026 patrí medzi šťastné. Aká bola situácia pred rokom? Preverme teda číslo 2025.

Postupnosť bude:

2025

33, 18, 65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37

Vidíme, že sa rozbehne cyklus, ktorý sa začína číslom 37. Je zrejmé, že v tomto cykle algoritmus zotrvá do nekonečna.

A čo rok 2027?

2027

57, 74, 65, 61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37

Hmm, zaujímavé. Opäť uviazneme v cykle a opäť začína číslom 37. Môžete si sami vyskúšať aj iné čísla. Zistíte, že nastanú práve dve možnosti. Buď číslo konverguje k 1 a nachádza svoj pokoj, alebo uviazne v cykle, pričom cyklus je vždy tvorený týmito 8 číslami.

37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37

Je len otázkou, ktoré z čísel trafíme ako prvé. Preveril som aj nadchádzajúce roky. Výsledok experimentu je zaznamenaný v tab. 1. Na šťastný rok z pohľadu rekreačnej matematiky sa môžeme tešiť v roku 2030. 

Ak chcete preskúmať aj ďalšie čísla, zájdite na stránku MathWorks File Exchange a hľadajte Happy Numbers. Celý program si môžete spustiť priamo v okne prehliadača. Stačí kliknúť na odkaz Open in MATLAB Online. Rýchly prístup získate aj po naskenovaní QR kódu nižšie.

Poznámka na záver. Čo je zaujímavé na tomto algoritme? O tom, či uviazne v cykle alebo dobehne k jednotke, rozhodujú začiatočné podmienky. Jeden systém, práve dva atraktory. Jeden stabilný alebo ak chcete pokojný, druhý periodický. Možno tento príklad poslúži ako názorný príklad toho, čo sú to atraktory a že jeden systém môže viesť k rôznym výsledným správaniam. O všetkom rozhodujú začiatočné podmienky.

#MatikaBezStresu

Martin Foltin
https://www.linkedin.com/in/mfoltin/